Diskriminante

Die Diskriminante ist eine mathematische Größe, die in der Algebra verwendet wird, um die Anzahl und Art der Lösungen einer quadratischen Gleichung zu bestimmen. Sie wird durch die folgende Formel ausgedrückt:

$$D = b^2 - 4ac $$

wobei $a$, $b$ und $c$ die Koeffizienten der quadratischen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ sind.

Um die Diskriminante zu berechnen, müssen Sie einfach die Werte von $a$, $b$ und $c$ in die obige Formel einsetzen und die entsprechenden Rechenoperationen durchführen. Das Ergebnis, $D$, gibt an, wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat und welche Art von Lösungen sie sind:

• Wenn $D > 0$ (größer als Null), hat die Gleichung zwei reelle Lösungen. (Sekante)
• Wenn $D = 0$ (gleich Null), hat die Gleichung eine doppelte reelle Lösung. (Tangente)
• Wenn $D < 0$ (kleiner als Null), hat die Gleichung zwei komplexe Lösungen. (Passante)

Mitternachtsformel (Schlaflose Nächte in Manhattan)

Die Mitternachtsformel, auch bekannt als abc-Formel, ist eine mathematische Formel zur Lösung von quadratischen Gleichungen der Form $p: y=ax^2 + bx + c = 0$, wobei $a$, $b$ und $c$ Konstanten sind und a nicht gleich Null ist.

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

Diese Formel kann verwendet werden, um die Werte von x zu berechnen, die die Gleichung erfüllen. Beachten Sie, dass die quadratische Gleichung zwei Lösungen haben kann, wenn die Diskriminante (b^2 - 4ac) positiv ist, eine Lösung, wenn die Diskriminante Null ist, oder keine reellen Lösungen, wenn die Diskriminante negativ ist.

Nullstellen

Nullstellen sind die Werte einer Funktion, bei denen die Funktion den Wert Null annimmt. Anders ausgedrückt sind Nullstellen die Lösungen der Gleichung $f(x) = 0$, wobei $f(x)$ eine Funktion ist. Grafisch gesehen sind Nullstellen die $x$-Werte, an denen der Graph einer Funktion die $x$-Achse schneidet.

Angenommen, Sie haben die folgende quadratische Gleichung:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Dann lautet die Mitternachtsformel:

$$x1,2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$ ​​ Sobald Sie $x_1$ und $x_2$ berechnet haben, können Sie sie in die Funktion $f(x)$ einsetzen, um zu überprüfen, ob sie Nullstellen sind:

$$f(x1) = a(x1)^2 + b(x1) + c$$ $$f(x2) = a(x2)^2 + b(x2) + c$$

Wenn $f(x_1)$ und $f(x_2)$ beide den Wert Null ergeben, dann sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen der Funktion.

Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt bezieht sich in der Mathematik auf den höchsten oder tiefsten Punkt auf einer Parabel oder einem anderen Kurvenverlauf. Es ist der Punkt, an dem die Kurve eine Richtungsänderung durchmacht und von einer Seite zur anderen Seite “kippt”.

Die Schreibweise für den Scheitelpunkt wäre: $$S = (\frac{x_s}{y_s})$$

Dann ist die Formel $x_s$:

$$x_s = \frac{-b}{2a}$$ Und $y_s$:

$$y_s = c- \frac{b^2}{4a}$$ Die Scheitelpunktform ist dann

$$y=a(x+x_0)^2+y_0$$

Nullstellenform

Die Nullstellenform ist eine alternative Darstellung einer quadratischen Gleichung, die durch die Angabe ihrer Nullstellen $x_1$ und $x_2$ sowie des Koeffizienten $a$ gegeben wird. Die Nullstellenform wird oft verwendet, um Informationen über das Verhalten eines quadratischen Graphen zu erhalten, wie z.B. die Lage des Scheitelpunkts und die Orientierung des Graphen. Durch Einsetzen des Scheitelpunkts in die Nullstellenform kann der zugehörige y-Wert berechnet werden, um den Scheitelpunkt auf dem Graphen zu markieren.

Sind $x_1$ und $x_2$ die Nullstellen einer quadratischen Gleichung, so sieht die Nullstellenform so aus:

$$y=a(x-x_1)(x-x_2)$$ Den Scheitelpunkt berechnet durch

$$x_S=\frac{x_1+x_2} 2$$ und

$$y_s=P(x_S)$$ also durch Einsetzen des x-Wert in die Nullstellenform.

Kombinatorik

Kombinatorik ist ein mathematischer Bereich, der sich mit der Analyse und Berechnung von Anordnungen und Auswahlmöglichkeiten von Objekten befasst. Es gibt drei grundlegende Konzepte in der Kombinatorik: Permutationen, Variationen und Kombinationen.

Permutationen

Permutationen beschreiben die Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge. Die Anzahl der Permutationen einer Menge von n Elementen, bei der jedes Element einmalig ist und keine Wiederholungen auftreten, beträgt n! (n Fakultät). Die Fakultät einer Zahl n wird als das Produkt aller positiven ganzen Zahlen von 1 bis n definiert.

Formel für Permutationen:

$$P(n) = n!$$

Beispiel: Angenommen, wir haben die Buchstaben A, B und C. Die möglichen Permutationen wären ABC, ACB, BAC, BCA, CAB und CBA.

Variationen

Variationen beschreiben die Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge, wobei jedoch nicht alle Elemente verwendet werden müssen. Die Anzahl der Variationen einer Menge von n Elementen, bei der r Elemente ausgewählt und angeordnet werden, beträgt V(n,r) = n! / (n-r)!

Formel für Variationen:

Variationen ohne Wiederholung:

$$V(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$$

Variationen mit Wiederholung:

$$V(n,r) = n^k$$

Beispiel: Angenommen, wir haben die Buchstaben A, B und C und möchten Wörter der Länge 2 bilden. Die möglichen Variationen wären AB, AC, BA, BC, CA und CB.

Kombinationen

Kombinationen beschreiben die Auswahl von Objekten aus einer gegebenen Menge, ohne dass die Reihenfolge berücksichtigt wird. Die Anzahl der Kombinationen einer Menge von n Elementen, bei der r Elemente ausgewählt werden, auch als “n über r” oder binomialer Koeffizient bezeichnet.

Formel für Kombinationen:

$$C(n,k) = \frac{n!}{k!(k-r)!}$$

Beispiel: Angenommen, wir möchten ein Team von 3 Spielern aus einer Gruppe von 10 Spielern auswählen. Die Anzahl der möglichen Kombinationen für das Team wäre C(10,3).

Wahrscheinlichkeitsbaum

Die Formel

$$P = 1 - \overline P$$

basiert auf dem Konzept der Komplementärwahrscheinlichkeit. Das Komplement eines Ereignisses ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Gegenereignis eintritt.

Wenn wir die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses P kennen, können wir die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnen, indem wir 1 von P subtrahieren. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses und die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses zusammen immer 1 ergeben, da entweder das Ereignis oder das Gegenereignis eintreten muss.

Basiseinheiten

Das SI- Einheitensystem

Im SI-System unterscheidet man die Basisgrössen von den abgeleiteten Grössen.

Abgeleitete SI-Einheiten

Alle weiteren SI-Einheiten sind aus diesen sieben Basiseinheiten abgeleitet. Abgeleitete SI-Einheiten sind beispielsweise:

Eine eckige Klammer [ ] um ein Formelzeichen bedeutet „ Einheit von …“;

z.B.

$$ [v] = \frac{m}{s} $$

gelesen: Einheit der Geschwindigkeit ist gleich Meter pro Sekunde

Dezimale Vielfache und Teile der SI-Einheiten (Vorsätze)

Da die Zahlen von über 1000 bzw. unter 0.01 viel Platz beanspruchen und ausserdem die Lesbarkeit beeinträchtigen, werden im SI-System für dezimale Bruchteile und Vielfache besondere Vorsätze eingeführt. Diese werden ohne Zwischenraum vor die Einheiten geschrieben